07/07/14 al 11/07/14.

SEMANA 1

Geometría analítica en el espacio 

Vimos la función implícita y su sistema en dos dimensiones y tres dimensiones.

Conclusiones:
 - Cada función representa una curva en el plano y la intersección genera 1 o mas puntos.(R*R)

- Geometricamente estas funciones explicitas de 3 variables abarcan superficies en el espacio y la intersección de dos superficies genera una curva.(R*R*R)

Rectas en el espacio

Conclusiones:

- Si tenemos un punto de la recta y su vector director se puede calcular la ecuación vectorial de la recta.

-Ecuación vectorial de la recta: 
1)r = ro+at (r,ro,a)vectores.
2) a=(l,m,n) ^ ro = (xo,yo,zo)
3)Rectas cartesianas de la recta o simétricas: 
((x-xo)/l)=((y-yo)/m)=((z-zo)/n)

- Recta determinada por 2 puntos.
1) Ecuación vectorial de la recta:
 r=r1+(t(r2-r1))
2)Rectas cartesianas de la recta o simétricas: 
((x-x1)/(x2-x1))=((y-y1)/(y2-y1))=((z-z1)/(z2-z1))

Distancia de un punto a una recta: 

 Distancia entre dos rectas:

Angulo entre dos rectas:

PLANO

• Ecuación vectorial del plano:  

    (r-ro).n=0

• Ecuación general del plano:

     Ax+By+Cz+d=0

• Ecuacion segmentaria del plano:

    (x/a)+(y/b)+(z/c)=1

• Ecuacion normal del plano:

    0= xcosα + ycosβ + zcosγ - p

• Ecuaciones incompletas 

• Distancia de un punto al plano:

• Ecuación dado por 3 puntos del plano:

    (r-r1).((r2-r1)*(r3-r1))=0

• Recta determinadas por 2 planos:

r = ro+at

• Haz de planos: Se entiende como un numero infinito de planos que pasan por una recta.

Ecuación de la superficie de la esfera vectorial

(x-xo)^2+(y-yo)^2+(z-zo)^2=R^2

Superficies cuadricas o cilíndricas: Análisis gráfico de superficies

-Intersección con ejes coordenados(OX,OY,OZ)

-Intersección con planos coordenados(XOY,XOZ,YOZ)

-Intersección con planos paralelos a los planos coordenados.

Funciones vectoriales de variable real 

F(t)= (f1(t);f2(t))    

- Su cuva es una curva plana en R*R

F(t)=(f1(t);f2(t;f3(t)))     

-Su gráfico es una curva "c" o " curva alabeada"  en R*R*R.

Conclusiones:

-El dominio de  F(t) es igual a la intersección de los dominios de cada una de las funciones.

-El rango de F(t) es igual a la unión de los rangos de cada una de las funciones.

Limites y continuidad

Derivación de funciones vectoriales

-Se cumplen todas las propiedades de derivadas de las funciones escalares de una variable.

Interpretación física

-El vector F(to) se denomina vector tangente a la curva "c" en "to".

-El modulo del vector F(to) se denomina velocidad escalar de F en to.

- La derivada de F`(t)=V(t)

-El vector acelercion F``(t)= a(t)

Integración de funciones vectoriales

Aplicaciones geométricas

-Plano normal,osculante y rectificante (Tiedro movil).

Plano osculador: T^N 

 B1(x-xo) + B2(y-yo) + B3(z-zo) = 0

Plano normal: N^B

 T1(x-xo) + T2(y-yo) + T3(z-zo) = 0

Plano rectificante: T^B

N1(x-xo) + N2(y-yo) + N3(z-zo) = 0 dro

Ecuación de la recta tangente (RT)

x = xo+tT₁

y = yo+tT₂

z = zo+tT₃

Ecuación de la recta normal (RNP)

x = xo+tN₁

y = yo+tN₂

z = zo+tN₃

Ecuación de la recta binormal(RB)

x = xo+tB₁

y = yo+tB₂

z = zo+tB₃